题目：已知函数ex可以展开为幂级数1+x+x^2/2!+x^3/3!+⋯+x^/k!+⋯。现给定一个实数x，要求利用此幂级数部分和求ex的近似值，求和一直继续到最后一项的绝对值小于0.00001。
输入格式:
输入在一行中给出一个实数x∈[0,5]。
输出格式:
在一行中输出满足条件的幂级数部分和，保留小数点后四位。
输入样例:
1.2
输出样例:
3.3201
综述
本题初看不算难，思路也很容易找到，很容易将代码大致框架敲出来，并且运行成功 ，但是这个程序在阶乘这个地方非常容易出现问题，大多数同学应该能想到时间复杂度这种问题，但是这个题还有另外一个很难被发现的坑-关于类型的范围，本次博客，我将从思路，编写，以及发现问题解决问题的流程分享一下这个有意思的PTA题目。
思路：
幂级数的第一项相当于x的0次方/0的阶乘，第二项是x的1次方/1的阶乘，我们把每一项当作一个整体程序中用n表示，用可变变量i作为循环变量，n=pow(x, (double)i)/fac(i),其中fac(i)表示i的阶乘，整体求和用循环结构解决，又题目要求最后一项的绝对值小于0.00001，这样思路就明确了，可以设置循环条件，使用while()循环，当n的绝对值大于等于0.00001时，进入循环。
实现：
最开始写的程序为程序1，函数主体按构思思路写的，阶乘函数用最容易想到的for()循环体实现，程序运行成功，输入测试用例，结果如预期所示，输入1.2结果为3.3201。
但是这个程序在上传PTA检测时出现一个错误，程序显示运行时间过长，于是我换了一组数据测试，我用了一下５这个值，输入之后，控制台光标一直闪烁，但是不出结果。程序运行时间果然是很长的。
我验证完之后倒是没多想别的，以为是函数有问题，所以直接又写了个另外一个常见的阶乘写法，采用递归的方式实现，具体代码如程序2。
程序1：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int fac(int i)
{
int fator = 1;
int j = 0;
for (j = 1; j <= i; j++)
{
fator = fator * j;
}
return fator;
}
int main()
{
double x = 0.0;
double n = 1.0;
int k = 0;
double sum = 0.0;
scanf("%lf", &x);
int i = 0;
while (fabs(n) >= 0.00001)
{
n = pow(x, (double)i)/fac(i);
sum = sum + n;
i++;
}
printf("%.4lf", sum);
return 0;
}程序2是采用递归写法，阶乘的递归很容易理解，也很容易写出来，写出来程序2之后我运行程序，发现和程序1 的错误是一样的，同样是在输入数较大时程序就不动了，好像是算不出来的感觉，到这我突然意识到了我程序的问题，递归大家都知道一个常见的问题，就是复杂度较高，会来回算很多次，浪费电脑CPU资源，当我输入的数大时，为了满足最后一项的绝对值小于0.00001，循环变量i就会相应的增大，i增大，算的阶乘就会很多，但是i是依次递增的。
这时会出现一个问题，举个例子说明，比如i=5时，是算5的阶乘，当i=6时算6的阶乘 ，算6的阶乘的时候会重复算5的阶乘，但是明明可以算6的阶乘的时候直接用5的阶乘乘6，计算机这点可是太笨了，还要自己写程序改正，如果这点不注意的话，随着项数的增加，会白白的多算很多的数，非常浪费计算机CPU，结果可想而知--算的特别慢。
程序2
#include<stdio.h>
#include <math.h>
int fac(int i)
{
if (i == 0)
{
return 1;
}
else
{
return fac(i - 1)*i;
}
}
知道这一点后便可以继续为程序优化，相信很多同学也知道这个错误要怎么修改，这时候最好玩的地方就出现了，你会发现修改之后，输入较大的数依然会出现程序运行时间过长问题，这到底是怎么回事呢？当然这个地方一会再说。先谈谈如何改正阶乘时每一项都重复算数的问题，这个问题怎么解决呢？
咱们可以从开始考虑考虑这个问题，第一项是0的阶乘是1，第二项是1的阶乘也是1，第三项是2的阶乘1*2......
由上面的图片就可以较清晰的看到，后项的阶乘其实是前项的阶乘乘i，知道这一点之后大概就知道怎么做了，咱们只需要使每一项的阶乘算完之后的值保留下来，到算下一项阶乘值直接用前一项的阶乘值，乘当前的i值就可以，这样可以避免很多次重复的计算，那么如何保留每次函数值算的阶乘值就是我们的目标，咱们都知道，函数里里面的变量生命周期就在函数内部，出了函数体就不存在了，如何使得里面的变量都存在就得使用关键字-static。通过static修饰局部变量可以改变局部变量的生命周期，使其拥有全局变量的性质，于是可以写出来程序3。
程序3
int fac(int i)
{
static int tmp = 1;
if (i == 0)
{
return 1;
}
else
{
tmp = tmp * i;
return tmp;
}
}如果按照我们的预期，函数应该就没用问题了，但是很不幸的是，输入较大点的数时依然出现了和之前程序一样的问题。
程序依然运行时间过长，刚遇到这个问题时，我是很崩溃的，自我感觉分析的很完善了，但是不知道为什么还会出现这种错误，于是我开始进行程序的调试。
当i=17时，大家有没有发现问题，阶乘的值已经超过的int的最大范围2^31-1了，这个问题在没有调试之前我是真的没想到会这样，int占8个字节，32个比特位，平时还真不容易溢出，这次程序的项数太多了，所以int类型的变量存不下，需要采用更大的变量存，于是改为程序4，重新运行程序，输入5，结果秒出。
程序4
#include <math.h>
double fac(int i)
{
static double tmp = 1.0;
if (i == 0)
{
return 1;
}
else
{
tmp = tmp * i;
return tmp;
}
}
总结
在编写程序时，除了注意语法，算法之外，我们有时候也要多注意变量的类型，另外遇到程序BUG，一定要善于使用编译器的调试工具，DEBUG也是非常重要的一项能力。