1.1. 线性回归

回归（regression）是指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人）、预测需求（零售销量）等。但不是所有的预测都是回归问题。在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

1.1.1. 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。它可以追溯到19世纪初。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量 x 和因变量 y 之间的关系是线性的，即 y 可以表示为 x 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set），每行数据（在这个例子中是与一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。我们要试图预测的目标（在这个例子中是房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用 n 来表示数据集中的样本数。对索引为 i 的样本，其输入表示为 $x^{(i)}=[x_1^{(i)},x_2^{(i)}{]}^{\top }$ ，其对应的标签是 $y^{(i)}$ 。

1.1.1.1. 线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

(3.1.1)中的 $w_{area}$ 和 $w_{age}$ 称为权重（weight）， b 称为偏置（bias），或称为偏移量（offset）、截距（intercept）。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， (3.1.1)是输入特征的一个仿射变换（affine transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 w 和偏置 b ，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

有些学科往往只关注有少量特征的数据集。在这些学科中，建模时经常像这样通过长形式显式地表达。而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含 d 个特征时，我们将预测结果 y^ （通常使用“尖角”符号表示估计值）表示为：

将所有特征放到向量 x∈$R^d$ 中，并将所有权重放到向量 w∈$R^d$ 中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

在 (3.1.3)中，向量 x 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 $X\in R^{n\times d}$ 可以很方便地引用我们整个数据集的 n 个样本。其中， X 的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合 X ，预测值 y^∈Rn 可以通过矩阵-向量乘法表示为：

给定训练数据特征 X 和对应的已知标签 y ，线性回归的目标是找到一组权重向量 w 和偏置 b 。当给定从 X 的同分布中取样的新样本特征时，找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定 x 预测 y 的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有 n 个样本的真实数据集，其中对于所有的 1≤i≤n ， y(i) 完全等于 $w^{\top }{x}^{(i)}+b$ 。无论我们使用什么手段来观察特征 X 和标签 y ，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在我们开始寻找最好的模型参数（model parameters） w 和 b 之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

1.1.1.2. 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 i 的预测值为 y^(i) ，其相应的真实标签为 y(i) 时，平方误差可以定义为以下公式：

常数 1/2 不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些，表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明，来看下面的例子。我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如 图3.1.1所示。

图3.1.1 用线性模型拟合数据。

由于平方误差函数中的二次方项，估计值 y^(i) 和观测值 y(i) 之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集 n 个样本上的损失均值（也等价于求和）。

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（ w∗,b∗ ），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

1.1.1.3. 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置 b 合并到参数 w 中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化 ∥y−Xw∥2 。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于 w 的导数设为0，得到解析解（闭合形式）：

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解的限制很严格，导致它无法应用在深度学习里。

1.1.1.4. 小批量随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量 $B$ ，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数 $\eta$ ，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（ ∂ 表示偏导数）：

总结一下，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

公式 (3.1.10)中的 w 和 x 都是向量。在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如 w1,w2,…,wd ）更具可读性。 |B| 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 η 表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 w^,b 。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。幸运的是，出于某种原因，深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

1.1.1.5. 用学习到的模型进行预测

给定学习到的线性回归模型 w^⊤x+b ，现在我们可以通过给定的房屋面积 x1 和房龄 x2 来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

我们将尝试坚持使用预测这个词。虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。

1.1.3. 正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。 正态分布和线性回归之间的关系很密切。 简单的说，若随机变量 x 具有均值 μ 和方差 σ2 （标准差 σ ），其正态分布概率密度函数如下：

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。

def normal(x, mu, sigma):
p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma2)
return p * np.exp(-0.5 / sigma2 * (x - mu)**2)

我们现在可视化正态分布。

x = np.arange(-7, 7, 0.01)
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel=‘x’,
ylabel=‘p(x)’, figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f’mean {mu}, std {sigma}’ for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿 x 轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

(3.1.12)
y=w⊤x+b+ϵ where ϵ∼N(0,σ2).

因此，我们现在可以写出通过给定的 x 观测到特定 y 的可能性（likelihood）：

现在，根据最大似然估计法，参数 w 和 b 的最优值是使整个数据集的可能性最大的值：

根据最大似然估计法选择的估计量称为最大似然估计量。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然 −logP(y∣X) 。由此可以得到的数学公式是：

现在我们只需要假设 σ 是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于 w 和 b 。现在第二项除了常数 1σ2 外，其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。 幸运的是，上面式子的解并不依赖于 σ 。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。

1.1.4. 从线性回归到深度网络

到目前为止，我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。 首先，让我们用“层”符号来重写这个模型。

1.1.4.1. 神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在 图3.1.2中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

图3.1.2 线性回归是一个单层神经网络。

在 图3.1.2所示的神经网络中，输入为 x1,…,xd ，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为 d 。网络的输出为 o1 ，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说， 图3.1.2中神经网络的层数为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（ 图3.1.2中的输出层）称为全连接层（fully-connected layer），或称为稠密层（dense layer）。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。