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• HDU 5608 function - http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5608

1 描述

• $已知N^2-3N+2={\sum }_{d|N}f(d)，求{\sum }_{i=1}^{n}f(i).$

2 分析

2.1杜教筛

• 2.1.1 莫比乌斯反演

$$N^2-3N+2=\sum _{d|N}f(d)，根据莫比乌斯反演得：$$
$$f(n)=\sum _{d|n}(d-2)\cdot (d-1)\cdot \mu (\frac{n}{d})$$

• 2.1.2 迪立克利卷积 $g\ast f$

$$(g\ast f)(n)=\sum _{d|n}g(d)\cdot f(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}g(\frac{n}{d})\cdot f(d)$$

• 2.1.3 杜教筛

$$\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})$$
$$=\sum _{d=1}^n\left(g(d)\cdot \sum _{\frac{i}{d}=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(\frac{i}{d})\right)=\sum _{d=1}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
$$=g(1)\cdot S(n)+\sum _{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )，式中S(k)=\sum _{i=1}^{k}f(i)$$
$$\therefore g(1)\cdot S(n)=\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)-\sum _{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$

2.2 数学模型

• 2.2.1 已知条件

$$\sum _{d|N}f(d)\cdot 1=(f\ast I)(n)=(I\ast f)(n)=\sum _{d|N}1\cdot f(\frac{n}{d})，式中I(n)=1$$
$$即：N^2-3N+2=\sum _{d|N}1\cdot f(\frac{n}{d})$$

• 2.2.2 结论

$$S(N)=\sum _{i=1}^N(i^2-3i+2)-\sum _{d=2}^{N}1\cdot S(\lfloor \frac{N}{d}\rfloor )$$
$$=\sum _{i=1}^n(i-2)(i-1)-\sum _{d=2}^{N}S(\lfloor \frac{N}{d}\rfloor )$$
$$=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)}{3}-\sum _{d=2}^{N}S(\lfloor \frac{N}{d}\rfloor )$$

3 代码

3.1 方法一【468MS】

3.1.1 说明

• 预处理函数pre()
  • 根据$f(n)=(n-1)(n-2)-f(1)-\dots ，n<1e6$计算f(n)，时间复杂度$O(n\cdot \log (n))$
  • 根据f(n)求${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$
• 求前缀和函数get_sum()
  • 如果n>1e6，则杜教筛；否则查表

3.1.2 代码

// hdu 5608 function
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inv 333333336
#define mxn 1000010
#define mod 1000000007
int n, t, ans[mxn];
map<int,int> q;
void pre(){
    
      // 计算f(n)及其前缀和
	for(int i = 1; i < mxn; ++i)
		ans[i] = 1LL*(i-2)*(i-1)%mod;
	for(int i = 1; i < mxn; ++i){
    
      // 计算f(n)
		for(int j = 2*i; j < mxn; j+=i){
    
      
			ans[j] -= ans[i];
			if(ans[j] < 0) ans[j] += mod;
		}
	}
	for(int i = 2; i < mxn; ++i){
    
      // f(n)的前缀和
		ans[i] += ans[i-1];
		if(ans[i] >= mod) ans[i] -= mod;
	}
}
int get_sum(int x){
    
      
	if(x < mxn) return ans[x];
	if(q.count(x)) return q[x];
	int res = 1LL*inv*x%mod*(x-1)%mod*(x-2)%mod;
	for(int i = 2, j; i <= x; i = j+1){
    
      // 整除分块
		j = x/(x/i);
		res -= 1LL*(j-i+1)*get_sum(x/i)%mod;
		if(res < 0) res += mod;
	}
	return q[x] = res;
}
int main(){
    
      
	pre();
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
    
      
		scanf("%d", &n);
		printf("%d\n", get_sum(n));
	}	
    return 0;
}