知识导航
一、回溯思想概述
🥳🥳 回溯可以理解为：通过选择不同的岔路口来通往目的地（找到想要的结果）
1.每一步都选择一条路出发，能进则进，不能进则退回上一步（回溯），换一条路再试
2. 树、图的深度优先搜索（DFS）、八皇后、走迷宫都是典型的回溯应用
二、八皇后问题引入
◼ 八皇后问题是一个古老而著名的问题
1.在8x8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列、同一斜线上
2.请问有多少种摆法？
八皇后问题的解决思路
(1)思路一：暴力出奇迹
(2）思路二：根据题意减小暴力程度
(3）思路三：回溯法+剪枝
我们可以用回溯法和剪枝思想解决8皇后问题乃至N皇后问题。我们由简单到复杂，先对4皇后进行一个思想梳理，请看下文👇👇
三、四皇后问题
四皇后问题的回溯示意图
由图中不难看出 3 5 都发生了回溯，那么什么是剪枝思想呢？
如果第一次选的是0下标节点，那么和这个节点的斜对角节点1，和这个节点的同一列的节点0都不会再被选中，因为是按一行一行进行选择的所以行的限制不做考虑。这种越过一部分的节点不做选择的操作称为剪枝操作。
八皇后问题
由上面的四皇后我们可以推及到8皇后问题的操作
和四皇后的方法一样一行一行进行选择，如果发现能放的节点数不够存储剩下皇后则回溯到上一个操作，重新选择节点（上面的图并不是完整的回溯过程。可以自己试着自己推一下）。
四、N皇后的实现
1.实现方法一：利用数组下标和元素形成行，列对应关系
成员变量
/**
* 第几行的第几列存放皇后
* 下标为行号，存储的为列号
*/
private int []cols;
private int ways;
放置皇后
//n->有多少皇后
public void placeQueues(int n){
if(n<1)return;//至少得有一个皇后
cols=new int [n];
place(0);
System.out.println(n+"皇后共有"+ways+"种摆放方法");
}
/**
* 从第几行存放皇后
* @param row
*/
public void place(int row){
//一种情况已经放完
if(row==cols.length)
{
ways++;
printf();
return;
}
//行号已经确定row，遍历列好
for (int col = 0; col <cols.length; col++) {
//isValid()实际是进行了剪枝操作
if(isValid(row,col)){
cols[row]=col;
//放置下一行
place(row+1);
}
}
}
放置皇后的可行性判断
public boolean isValid(int row,int col){
for(int i=0;i<row;i++) {
//行是一行一行往下的，所以这里不用进行的行的判断
//判断列，相等说明同一列已经放了元素
if (cols[i] == col) return false;
//row-i/col-cols[i]==1
//row-i必是正数，斜率
if (row-i==Math.abs(col-cols[i])) return false;
}
return true;
}
打印操作
public void printf(){
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
2.实现方法二：利用布尔数组及进行优化
//N皇后问题-->成员变量优化
//在第一种写法时有一个缺点在进行isValid()每次都要进行for循环，效率很差
//这种写法的缺点是：不适用于太多皇后的安排，因为额外开辟了三个数组空间
public class NQueens1 {
//下标是行号，元素是列号：保留这个数组-->方便显示（打印）皇后的具体位置
private int [] queens;
/**
* 标记某一列是否有皇后
* 下标为行号，存储的为列号
* 左上--->右下:指的是对角线的指向
*/
private boolean []cols;
private boolean []leftTop;//标记一个方向的斜线是否有皇后（左上--->右下）
private boolean []rightTop;//标记一个方向的斜线是否有皇后（右上--->左下）
private int ways;
//n->有多少皇后
public void placeQueues(int n){
if(n<1)return;//至少得有一个皇后
queens=new int[n];
cols=new boolean[n];
leftTop=new boolean[(n<<1)-1];//同一个方向有2*n-1个斜线
rightTop=new boolean[leftTop.length];
place(0);
System.out.println(n+"皇后共有"+ways+"种摆放方法");
}
/**
* 从第几行存放皇后
* @param row
*/
public void place(int row){
//一种情况已经放完
if(row==cols.length)
{
ways++;
show();
return;
}
//行号已经确定row，遍历列好
for (int col = 0; col <cols.length; col++) {
if(cols[col])continue;//剪枝：这一列已经有皇后了
int ltIndex=row-col+cols.length-1;
if(leftTop[ltIndex])continue;
int rtIndex=row+col;
if(rightTop[rtIndex])continue;
queens[row] = col;
cols[col]=true;
//放置下一行
leftTop[ltIndex]=true;
rightTop[rtIndex]=true;
place(row+1);
//到这里说明row+1行没有可以放的位置，药要进行回溯；重置
//之前没有改是因为，新的设置会覆盖掉原来的设置
cols[col]=false;
//放置下一行
leftTop[ltIndex]=false;
rightTop[rtIndex]=false;
}
}
void show() {
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (queens[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
}
3.实现方法三：位运算进行进一步优化（仅针对N皇后）
package Test02;
/**
* 什么情况适用于位运算优化？
* 1、存在布尔数组
* 2.数组的长度不是很长（最好能用现有数据结构来表示）
*/
public class eightQueens {
//下标是行号，元素是列号：保留这个数组-->方便显示（打印）皇后的具体位置
private int [] queens;
/**
* cols：将boolean类型用 0 1表示。通过转化成二进制位压缩为byte(8个比特位)类型
* [true false false true.....]--->[1 0 0 1......]
* leftTop rightTop有十五个元素，所以用short存储就足够了
*
*/
byte cols;
short leftTop;//标记一个方向的斜线是否有皇后（左上--->右下）
short rightTop;//标记一个方向的斜线是否有皇后（右上--->左下）
private int ways;
//n->有多少皇后
public void placeQueues(){
queens=new int[8];
place(0);
System.out.println(8+"皇后共有"+ways+"种摆放方法");
}
/**
* 从第几行存放皇后
* @param row
*/
public void place(int row){
//一种情况已经放完
if(row==8)
{
ways++;
show();
return;
}
//行号已经确定row，遍历列好
for (int col = 0; col < 8; col++) {
int cv = 1 << col;
if ((cols & cv) != 0) continue;
int lv = 1 << (row - col + 7);
if ((leftTop & lv) != 0) continue;
int rv = 1 << (row + col);
if ((rightTop & rv) != 0) continue;
queens[row] = col;
cols |= cv;
leftTop |= lv;
rightTop |= rv;
place(row + 1);
cols &= ~cv;
leftTop &= ~lv;
rightTop &= ~rv;
}
}
void show() {
for (int row = 0; row < 8; row++) {
for (int col = 0; col < 8; col++) {
if (queens[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
}
